为什么 空间二阶导（拉普拉斯算子）这么重要？ 第1页

不请自来。我忽然想到Laplace算子 在测量与估计理论中的一个用途。

如果你有一堆观测数据 ，想从里面提取一些隐藏的控制参数 的信息，统计模型由似然函数 给出。这样你可以用极大似然法去估计 ，也就是解如下似然函数方程

其中 表示对 的梯度。这个方程的解 就是 的极大似然估计。

评价这个估计的精度可以用Fisher 信息，简单理解，它是最小估计方差的倒数，由Cramer-Rao不等式保证。达到这个最小方差或者最佳精度是需要大量观测数据的，这个不是本回答的重点。重点是Fisher信息的另一层意思，它是参考似然函数对估计似然函数的相对熵的Hessian。这个相对熵可写为估计值的函数，

其中 是参考似然函数（或概率密度）， 是待估参数的真实值；是相同的模型下，模型参数为估计值 的“估计”似然函数（或概率密度）。而Fisher信息就是 在 时的Hessian，

注意，方括号里面是个由二阶偏导 组成的矩阵。

而因为 是向量，估计方差这时候就该叫协方差矩阵了，用 表示，其对角元是每个估计量的均方误差 。它和Fisher信息矩阵一样，都是对称的（半）正定矩阵。不失一般性，我们假设它们都是正定的。那么由Cramer-Rao不等式，它们的行列式满足关系，

再由 的正定矩阵 的迹与行列式的不等关系 ，我们可以得到

或者

这里，协方差矩阵 的迹就是所有估计量的均方误差的和。而Fisher信息矩阵 的迹就是 对每个估计值 的二阶导在真实值 处取值的和，或者用Laplace算子表示

是最小（佳）估计均方误差的和的倒数（请忽略那个因子 ），反映了估计的本征精度（intrinsic accuracy）。又因为是标量而不是矩阵，所以用来分析估计精度要比Fisher信息矩阵 方便得多。

多说一点，在观测数据样本很大时，估计值 将趋于多元高斯分布

所以管 叫本征精度

二阶哈密顿运算可以从多个角度来描述，这里仅从场的视角做粗略分析：

注：符号加黑加粗的表示矢量场函数，否则一律为标量场函数；

场具备两个宏观属性：能量属性和力属性；这是场的必要性质，如果没有这两个属性就不能称之为场！

实际上，能量和力在微观层面上是等价的，通过量纲分析可知，能量密度的单位J/m^3和应力单位N/m^2用国际基本单位描述都是kg/(m*s^2)。故不可能出现一个场只有能量属性没有力属性，或只有力属性没有能量属性的情况；这与分析力学汉密尔顿原理，储能系统必然对外展示广义力的作用，这一结论完全吻合！

描述能量属性用势函数，如电场中的电势函数φ；磁场中的矢量磁位A；热场中的温度T等；

势函数的一阶哈密顿运算描述了场的力属性，如电势函数φ的一阶哈密顿运算（梯度）反映了电场强度E；矢量磁位A的一阶哈密顿运算（旋度）反映了磁通密度B。

根据亥姆霍兹定理，无界空间中，只要对力场函数进行一次哈密顿运算，就可以找出源的分布函数，即找到了场源，而由于力场函数是势场函数一阶哈密顿运算结果，所以对力场函数的一阶哈密顿运算就是对势场函数的二阶哈密顿运算，即拉普拉斯算运算！

总结概括地说，拉普拉斯运算从物理上可以理解为通过势函数寻找场源的操作。分析一个场，弄清楚场源的分布极其重要，所以拉普拉斯运算的重要性也就不言而喻了！

标量势函数（如电势函数φ）的拉普拉斯运算结果依然是标量函数（电荷密度与介电媒质的函数，-p/ε），相当于对标量势函数求梯度后再求散度；旋度场矢量势函数（如矢量磁位A）的拉普拉斯运算依然是矢量函数（电流密度J导磁媒介u的函数，-uJ），相当于对矢量势函数求旋度后再来一个旋度操作。

转自物理学中的数学方法 拜伦 第一卷

数学上就是二阶导，也就是一阶导数的导数，转换到物理上对应这两个导数的物理意义。

1 拉普拉斯的定义：The divergence of the gradient of a scalar field，这里，scalar field为一个标量场，每一个点对应一个value，gradient是它的梯度，也就是该点的value和临近的value之间的渐变，是一个向量。这两个不难理解

2 divergene则为散度，数学定义为：

散度将一个向量场对应为一个标量场，对应的物理描述是向量场里一个点是汇聚点还是发源点，local change in density induced by vector field as a flux

关于散度，可以看一下如上视频，更直观的理解和数学定义。

3 Laplacian的数学定义：

可见，我们可以从一个标量场获取一个标量，对应的物理意义就是：measuring how much a function is diffused or similar to the average of its surrounding

Laplacian的价值就是体现梯度的强度：梯度告诉我们该点的质，而laplacian告诉我们该点的量。