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圆膜的振动是简谐振动吗? 第1页

  

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严格来说属于“谐振”,但不是经典的一维“简谐”运动,而是“柱谐”。因为与一维(弦、空气柱)驻波不一样,圆形膜的各基本振动模式(本征函数)与(第一类)贝塞尔函数(三维柱谐函数的径向部分)有关,其频率不成简单整数比,而是取决于贝塞尔函数的零点。这些零点甚至没有解析解,只能通过数值方法估算。(波动方程在此情况下的详细求解请看偏微分方程或数学物理方程)也就是说,圆形膜振动存在泛音,但各泛音不遵循谐音列关系。

下图展示了最初的几个本征态,每种振动模式都有两个“量子数” lm,对应 l 阶贝塞尔函数的第 m 个正零点,也就是图中每个 k 的值,两个 k 之比就是频率比。也有人借用量子力学的原子轨道记号来称呼每个模式,如 (0,1) 为 1s,(0,2) 为 2s,(1,1) 为 2p,(2,1) 为 3d……




  

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