是什么赋予物质质量？ 第1页

一直都想写一个科普质量的文章，就在这里写吧。本文针对的是有一定物理基础的物理系本科生，学过量子力学，相对论，最好还熟悉一点4-vector formalism...

我打算就以Klein-Gordan场和Dirac场为例说明基本粒子是怎样获得质量的。然后再讲讲自发对称性破缺和Higgs机制如何给予gauge boson质量。注意，这不是什么很正式的讲义，全当稍微高级一点的科普。行内人士不要笑话了...

1. 首先先说下Klein-Gordan (KG) 场和Dirac场。

KG场描述boson。KG方程是这样得来的：对狭义相对论中的关系式

利用量子力学的结果，做以下替换

就得到KG方程 , m代表的是KG场的质量 它对应的Lagrangian是

从Lagrangian的角度来说，场的平方项的系数给出了质量的大小。

Dirac方程描述自选1/2的fermion。它也是从 入手，但是开了平方。Dirac假设

我偷个懒，我们假设空间只有一维。这样和必须是2x2的矩阵：

,

这样就可以得到一维的Dirac方程：

因此会有个两个component，可以写成

我们发现beta矩阵作用在 上其实就是交换两个component的位置。所以Dirac方程就可以拆成两个

我们看到两个方程是couple在一起的，如果质量项不为零！

简单讲一讲这个质量项的起源，细节我们后面还会再提及。

时空中存在一个标量场, 它和Dirac field会couple在一起

假如这个标量场的基态刚好是, 那么 就decouple了，因此 表示的这个fermion就是无质量的。但是由于某些原因（具体等我们到自发对称破缺再说），标量场的基态并不等于0，这样我们就可以和Dirac方程做比较发现.

2. 整体规范变换，自发对称破缺。

现在我们考虑对KG场做一个变换:

相应的，

很显然，KG场的Lagrangian在这个变换下保持不变

这叫做规范不变性。

我们要求规范不变性必须被满足。

所以，如果你想在Lagrangian里面构造更复杂的势能 , 它必须是的函数。

最简单的可能性就是，也就是KG场的势能。但是这个势能的最小值刚好就是当时V＝0. 之前我们讨论Dirac场的时候就谈到，如果真空刚好是V＝0，那么fermion都是无质量的。这显然不是我们想要的。

实际上，势能项是这个样子的：

用图画出来，就是所谓的墨西哥草帽，

我们看到，phi＝0并不是真空，在这个帽子底部的一个圆圈上才是真空。因为这个势能明显具有旋转对称性，我们用极坐标表示更方便：

这样势能就写成

整个Lagrangian就变成了

然而，真空必须选择特定的一个alpha值，整体的旋转对称性被打破了。这叫做自发性对称破缺。

假设帽子底部圆圈半径是，那么在这个圆圈上，Lagrangian是

注意到，除了 这一项，其他两项都是常数，因此我们可以只考虑

定义 , 所以 .

这个Lagrangian是什么？

是个无质量的KG场。也就是说，在墨西哥草帽的势能下，标量场phi在真空的angular variation产生一个无质量的波色子。通常被叫做Goldstone波色子。它是自发对称性破缺最显著的特征。

另外，phi在f附近有径向的振动，这产生的就是Higgs boson。

3. 局部规范变换，协变导数

现在我们继续研究标亮场的规范变换，但是这次变换的角度是时空的函数：

这下就不好了...因为Lagrangian里的动能项不再保持不变。有兴趣的读者请自行做计算验证...

如果我们想保留规范变换不变性，那必须引入一个新的场。结果人们发现，Maxwell理论的vector potential 能做到这一点。我们定义协变导数 , 同时规定A的规范变换 , 把动能项写成 , 规范变换性就被拯救了。

既然引入了A，那就必须引入电磁场自己的动能，也就是, 很明显F^2这项并不会破坏规范不变性。那把Lagrangian写全就是

其中势能只要是的函数，就可以保留规范性。在我们的讨论里，势能一直都会是墨西哥草帽势能。

这里稍微提一句。倘若上面这个Lagrangian里有一项, 这项会是光子的质量。但是我们知道光子并没有质量，所以A^2这项不存在。为什么呢？因为会破坏规范性...有兴趣自行验证

4. gauge boson的质量

现在我们探讨gauge boson是如何获得质量的。

考虑标量场的动能项，我们还是把记作，其中f是帽子底部圆圈的半径。那么把协变导数展开，

所以

把记作, 那么我们就有了, 这正是gauge boson的质量。

可以这样形象的理解，正是Goldstone boson，它被gauge boson吃掉了。因此gauge boson获得了质量。

再注：这只是科普。不要当真。

5. Fermion的质量

回到Dirac方程

下标R和L表示的右旋和左旋。弱相互作用被研究了之后，人们发现只有左旋的粒子和右旋的反粒子参与弱相互作用，或者说，只有左旋的粒子有weak charge。那么我们再看拆开的Dirac方程，weak charge不守恒。。。

解决这个问题，要引入我们已经讨论过的标量场，是带weak charge的。这样，通过发射一个变成就让weak charge守恒了。要做到这个条件，我们必须把和 couple在一起，

这就是我们之前提到的，Dirac方程里质量的来源。因为标量场 frozen at f, 所以

. 对于不同的fermion，就会有不同的g，这做Yukawa coupling。

6. Mass renormalization

探讨Dirac方程的时候，我们就发现一个fermion有质量会导致它的右旋和左旋会couple在一起。所以反过来说，当我们发现一个粒子从右旋变为左旋，或左旋变为右旋，我们就可以得出结论这个粒子有质量，旋转翻转的概率越大，质量也越大。

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更新

讲一讲左旋变为右旋在物理上是个什么过程。我们知道粒子是有自旋的，自旋方向可以和运动方向平行，也可以反向平行。比如下面这个图，粒子自旋的方向和你左手弯曲时手指的方向一致，同时它的运动方向和左手大拇指的方向也是一致的，这就叫左旋。

再看这个粒子，它的自旋方向还是一样的，但是它往右边运动。这次必须要用右手了。这个粒子是右旋的。

如果这个粒子有质量，那么它就永远无法达到光速运动。这样你就可以想象，你自己运动的比这个粒子快，你观察这个粒子，它的运动方向就改变了。但是自旋方向还是不变。所以，粒子会从左旋变为右旋。

这就是为什么有质量的粒子，是couple在一起的。

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这个过程的费曼图可以画成这样：

只要这个fermion有质量，那么这个旋转翻转的过程就能发生，并且这个过程的概率振幅就是

但是，并不是它所有的质量，还有所谓self－energy的东西。我们要考虑所有会翻转旋转的过程。

我们可以首先想象这个过程，一个左旋fermion进来，发射了一粒光子，（发射／吸收光子并不会改变旋转），在它重新吸收了这粒光子之前，它变成了右旋，然后它又把这粒光子吸收了。这个图有两个顶点，每个顶点会引入一个正比与电子电荷的factor，所以这个过程的振幅是

那么继续，这个fermion可以发射两粒光子，三粒光子，四粒。。。很多粒，最后又全部把它们吸收了。

所以，所有这些过程的振幅加起来是，

那这就引起来一个问题：这个级数收不收敛？

这个问题就导致了重整化，renormalization，的思想。

我们再看这个最简单的图，

我们想象这个fermion就是在箭头的那个地方从左旋变成了右旋。那么箭头代表的是时空的一个点么？事实上不是的。把这个箭头这个地方想成一个黑箱子，不管这里面发生了什么，不管这里面有多大，只要在这个fermion进入黑箱子前是左旋，从黑箱子出来后是右旋，那么这个过程就对fermion的质量有贡献，我们就要在质量的级数里加上这个。直到这个黑箱子的体积小于某个值， 在量子场论里通常我们取普朗克尺度.

那么具体这个cut off在数学上如何操作呢？

举个例子，比如我们想算一个scalar boson的总质量。之前介绍KG场的时候就提到了，KG场的质量在Lagrangian里的体现是场的平方项，. 这个平方项画成费曼图，其实就是代表粒子的位移。也就是这样一个简单的图。

现在我们要用黑箱子的思想，我们想象箭头这个地方是个黑箱子，只要这个boson进入了黑箱子，又从黑箱子出来了，不管黑箱子里面发生了什么，这个过程就会对质量有贡献。

那么，可以有这个过程：

我们把上面那个圈，叫做propagator。

Propagator就是这样一个东西，

只不过它是一个虚粒子，也就是它被发射出来之后一定又被吸收了。从场论的角度来说，这相当于，在x处产生一个粒子，在y处再把它湮灭。那么这个过程的振幅就是

因为phi的量纲是能量，也就是1/长度，所以振幅一定是1/长度平方。根据量纲分析，我们唯一涉及到的长度量，就是那个cut off的长度。所以一个propagator，就会引入一个.

现在我们把上面那个圈剪断，整个过程就变成了一个4-vertex diagram，我们发现只有一个propagator

4-vertex diagram对应的Lagrangian里面的系数，所以这个过程的振幅就是.

再考虑一个更复杂的过程，

现在我们有三个propagator，假如我们把三个都从中间剪断，那么这个图可以看成是由两个

拼起来的。我们假设发射propogator是在处，吸收propagator是在处，那么三个propagator就会给出; 另外由于这个图是两个4-vertex拼起来，所以会有.

那么这个过程的振幅就是

根据量纲分析，这个积分结果只能是...

如果你考虑更复杂的图，你就会有关于lambda越来越高的power，但是delta-dependence都是.

所以这样一个粒子的self-energy, 大致是这样一个级数

我们发现这个级数和电子质量级数有些区别：

电子的总质量是完全由控制的，e是个常数。

而我们所考虑的scalar boson的质量，除了以外还受到影响。而要保持最后总质量m是个比较小的数值，lambda必须很精确的控制。这就是所谓的Higgs fine-tuning问题。

8. 啰嗦的话

并不是所有粒子的质量都是从Higgs来的。比如uud三个夸克组成的质子，99%的质量是强相互作用导致的。