一日之寒最多可以冻几尺？ 第1页

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这个问题越来越有意思了。原答案的建模是基于池塘模型：平静水体、大面积不深、自然对流、表面冰层逐渐增长。@invalid s @霁雪 指出了另外的可能性：大海模型。是高度湍流、大风、过冷水等情况。如这个回答中提到

在这个模型中，波涛汹涌的大海中，海水结冰并不是先形成一层坚固的冰壳，而是先产生大量冰粒、变成细碎冰凌和寒冷海水的混合物；随着寒冷的持续，混合物中的冰粒越来越多、越来越大，海水也越来越稠……
最终，当超过某个临界点时，海水凝固，对流停止——于是一夜间结出极厚的冰层来。

我想简单估算一下这种情形。在这里，结冰过程并不会立刻形成稳固的冰层，因而就不会阻断表面散热。相反地，由于水体的表面湍动，形成大量的冰屑粥状物，然后骤然结冰。

那么在这里，水面散热的速率，可以大致考虑成表面蒸发的对流散热，一般可以达到上千。但是这里考虑到低温下蒸发强度较弱，姑且取值500。同时由于波浪的起伏，考虑每平米海面的实际表面积约为5倍。那么，根据这种传热模式：

可以大致估算出，在大海处，持续一昼夜的狂风巨浪，骤然停歇导致产生的冰层厚度大约为6.5米 - 当然，这只是一个数量级，而不是准确数。

但是，我想，在这种情况下，更大的可能性不是形成大面积的冰层，而是形成破裂的、多块的冰层 - 我们把它叫做冰山。

以下原答案。

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这个问题可以用一个简单的传热学模型来估算。首先我们做如下假设：

1. 水体平静，不存在湍动；
2. 大气温度大致恒定且无风、没有太阳直射；
3. 水体面积很大；
4. 水体不太深，因而不会从地层中获得大量热量。

我们可以考虑一个流动的池塘，可以大致满足上述假设条件。

我们先来定性地分析一下结冰的过程。整个温度在冰面、冰层、水体中的分布大致如下：

在冰面以上部分，根据假设2，我们就可以基本上只考虑空气的自然对流。这种情况下，温度在远离冰面的部分基本均匀。我们令大气的温度为 。那么根据牛顿传热定律，我们就知道冰面向外散失的热量：

其中， 为大气的自然对流系数。一般情况下，这个数字大约是5~10W.m-2.K-1。

在冰层当中是纯粹的热传导过程，根据傅里叶传热定律我们就可以知道，它是一个纯粹的线性分布。

而在水中，根据假设1，我们也可以只考虑水的自然对流过程。那么水向着冰面的热量传递大约是：

这里， 是水的固液界面温度，我们知道，这个温度就是0℃。 是水的自然对流系数。 是水体温度。

谁有一个非常有意思的性质，就是在4℃以下时，水的密度随着温度升高而升高（也就是冷胀热缩现象）。因而，以4℃为界，水的对流行为就很不同。在这个温度以上的时候，热传递过程是强化对流的，因为热量从表面散失后会导致表面温度下降，从而使表面密度增加，这部分水下沉，让温度更均匀。而在4℃以下时，则抑制对流。因为表面散失热量后会导致这部分低温的水更加不易下沉。事实上，实验也证实了这种理论分析，在4℃以下的表面冷却过程中，水体完全不流动，被称为“死水一片，温度完全分层（stragnant and thermally stratified）”。（Forbes J. Heat Transfer. Feb 1975, 97(1): 47-53）

因此，在我们考虑这种结冰的情况下，水体的温度最合理的假设就是在4℃上下。原因很简单，高于4℃时，水的对流换热很强，使得水的整体温度会不断下降。而低于4℃时，表面散失温度只会使表面温度下降，而水体内部温度则不会受太大影响。因而，我们就有了：

我们这里考虑大气温度为-10℃的情况。

首先，我们来考虑一个极限情况：

这种情况下，我们认为大气传热很快（比如说一直有大风天气），而水体的对流传热很慢。这种情形下，基本上冰面温度就等于大气温度。而我们知道冰层的另一端（冰水界面）温度为零。那么此时根据傅里叶传热定律：

请注意这里有一个附加假设：即冰层增长速度远低于传热特征速率，因而近似为一个稳恒传热过程。

因而我们得到冰层内部向外散热的速率就是：

这里L为冰层厚度。

同样地，我们知道在冰水界面，散热的速率就等于结冰所散失的熔解热的速率：

这是一个可以直接积分的微分方程，可得（带入数字，水的热导率为2.22，水的熔解热为3.35E5J/kg）：

下图显示了在30天内冰层增长的情况：

从这里看，在这种极限情况下，一个月冰层即可冻半米。

但是这只是一种极限情况。这个计算结果考虑1）空气传热速度很快，2）水体传热速率很慢。而在实际情况中，大气传热并没有那么快，并且水体总是有若干流动的，其对流传热速率不可忽视。于是我就又把空气和水体的对流考虑在内。

此时，冰层的传热方程变为：

此时，我们可以算出，冰层中向外散热的速率为：

而同时，由水体向冰面的传热速率为：

那么考虑冰层增长速率就是：

这个积分稍微麻烦一些，但是我还是硬着头皮给算出来了：

根据空气的自然对流情况，我们可以合理地取对流系数靠近上限（因为不排除其他空气流动），数值为10。因此我们可以考察不同的水流情况下冰层的情况：

请注意计算中冰层有一个初始厚度10cm。我们可以看到，如果考虑1~2级微风、水体几乎无流动的情况下（即 ），在零下十度左右下，初始10cm厚度的冰层经过一个月的时间变为大约45cm，也就是说厚度增加了35cm。而在现实情况中，水体总会有些流动，对于对流而言，稍有流动就会产生较大影响。大约估计数量级在10左右，也就是说，一个月结冰20厘米上下可能更符合实际情况。

当水体流动加剧的时候，我们可以看到冰层厚度就会越来越薄。直到对流系数大约在50上下（也就是说接近我们加热水壶的那种对流强度的数量级了），冰面就会完全崩解。这就是“流水不结冰”的道理。

有趣的问题，有趣的答案。

我来总结一下吧。

这个问题答案的下界就是 @贾明子 的模型。这个模型假定水是静水，只算冰层传热速率。

作为“真空农场的球形鸡 ”，这个答案很精确的给出了一组图像，告诉我们“用气流冷却表面结冰的、不流动、不蒸发的纯水”时，冰层厚度和时间的关系（后面又补充了一组数据，算出了一定对流系数下的冰层厚度）。

那么上界是多少呢？

个人认为应该是“过冷水”模型。

在这个模型中，水体可能存在较强的对流、且本身温度已经接近甚至低于零度；那么在急速流动的干冷空气作用下，水体可能和气流存在更为剧烈的热交换，最终造成极大体积（比如整个湖、整片海）的水体被冷却到冰点以下——然后在细微的扰动下，整个湖泊瞬间结冰。

这个“真空农场的球形鸡”模型主要受限于过冷水可以承受的湍流扰动的最大极限；但它允许的“一日间冷却量、结冰量”显然远大于静水模型。

这里有个有趣的相关研究：真空冷冻海水中冰晶生长速度的研究 - 百度文库

而真实世界发生的，则是 @霁雪 的流化冰模型：流化冰_百度百科

在这个模型中，波涛汹涌的大海中，海水结冰并不是先形成一层坚固的冰壳，而是先产生大量冰粒、变成细碎冰凌和寒冷海水的混合物；随着寒冷的持续，混合物中的冰粒越来越多、越来越大，海水也越来越稠……

最终，当超过某个临界点时，海水凝固，对流停止——于是一夜间结出极厚的冰层来。

这个“极厚”是多厚呢？

知乎这篇文章地理大神：冷知识：细数渤海发生过的奇葩事儿！ 提到，1969年，海冰持续50多天；空军投放了30公斤TNT试图破冰。失败。

在这个模型中，很显然，一夜间允许的冰层厚度和海水活动的剧烈程度紧密相关——如果是静水，那肯定该冻就冻了——而剧烈活动的海水就允许表层更多冰粒存在（同时也能加剧对流）；那么一旦“扛不住”开始结冰，冰层厚度自然就可以非常夸张。

不过，具体能有多厚……这仍然是个实验问题。人类目前应该没有什么公式可以直接计算它。