如何解释「泛音」？它是如何产生的？ 第1页

更新：修改了一些勘误/错别字，修改了更严谨的措辞，删掉了繁琐的内容

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目录

1. 声学中的泛音
1. 复合音与纯音
2. 听一听复合音与纯音
3. 看一看复合音与纯音
4. 泛音产生的原理和数学模型
5. 音乐声学
2. 音乐中的泛音
1. 泛音列
2. 律学
3. 演奏技法与演唱的音色

1. 声学中的泛音（物理性质）

i. 复合音和纯音

“由基音和泛音结合在一起形成的声音，叫做复合音。”——百度百科
“纯音(pure tone)在声学中指声压的时间波形为正弦函数的声音。 ” ——Wikipedia

一个正弦函数对应一个频率，纯音只有一个频率。乐器和自然界里所有的音都有泛音，都是复合音。其中，复合音的频率可以分出基频（基音）和泛频（泛音）。

简单来说，基频就是频率最低的音，泛频就是频率大于基频的所有音。

大部分声音中，基频的音量最大，音高最低，最容易让人察觉；泛频的音量大多比基频低，音高都比基频高，比较难让人察觉。同时，大多情况下基频决定声音的音高，泛频决定声音的音色。

“音乐演奏或歌唱中，基音是区别音高的主要元素，决定旋律。而泛音则决定乐器或人声的音色。”
——wikipedia

为了区分复合音中基频和泛频，我们给它们按照频率高低排上了序号，从频率最低的基频开始是第一分音，频率第二低的叫做第二分音……就这样，形成了一个分音列。

也可以叫他谐波，基频是一次谐波，第一泛音是二次谐波，第二泛音是三次谐波……

我们分辨不同音高，主要靠通过分辨基频音高，而音高相同的音还有不同的音色，那是因为他们的泛频各不相同。

因此，纯音不存在音色，因为它只有一个固定频率。

ii. 听一听纯音和复合音

倒不如直接来听一下，这样有耳朵来帮助区别会直观。

440Hz大概是乐器的A4（或者说小字一组的a）这个音，称作标准音。也有第二国际标准音435Hz。

那我们再来听听复合音的440Hz。

里面依次是钢琴、小提琴、单簧管、长笛、双簧管、小号的声音。同样是A4，因为复合音中泛频的不同，导致了不同的音色。

在听觉上，音色不同是对泛频最直观的感受。我们身处自然界中，早已习惯了复合音的存在，要单独区分出复合音中某个泛音还是比较困难的。然而大部分乐器的第一泛音，只要专心感受，是很容易听出来的。对于大部分声音来说：泛音音量基本上和频率呈负相关，频率越高，泛频音量越小，越难单独听出来。

iii. 看一看纯音和复合音

这时候，我们要用到“频谱”来帮助我们观察。

先说一下频谱怎么看吧。

频谱图的坐标就像个直角坐标系一样，不过只有一个象限。

其中，x轴代表频率，越往右频率越高。注意这张图，频率用的单位是MHz，这大概是个测量电磁波的，音乐中使用的频谱图单位都是Hz；y轴代表的是dB，越往上数值越大。注意这张图使用的单位是dBm，音乐中使用的频谱图的y轴用的单位都是dB。dB是一个比值，dB越高，振幅越大。

频谱仪告诉我们信号在频域上分布的规律，而在时域上分布的规律需要靠观察波形。

波形：表示信号的形状、形式，这个信号可以是波在物理介质上的移动，也可以是其他物理量的抽象表达形式。——百度百科

简单的一个余弦函数，也是个波形。

它是波在传播时抽象的表达，像上图这种，可以直接抽象成一个正（余）弦函数的振动，叫做简谐振动。

但实际上，声波比这复杂得多：

一切复杂的声波都可以看成是无数个简谐振动的叠加，通过傅立叶变换，可以将复合音分解为一个个纯音，频谱就是通过傅立叶变换的方法来绘制出信号在频域上的关系。

有了波形和频谱来分析声音，那么就方便多了

我们可以看到，纯音的波形完完全全就是一个正（余）弦波，而且在频谱上，只有440Hz这个点凸起来了（440Hz周围被带一点起来是因为频谱泄漏，算法原因）。这也和我们预想的一样：纯音只有一个频率，并且一个频率只对应一个简谐振动。

钢琴：

小提琴：

单簧管：

长笛：

双簧管：

小号：

通过观察上面声音的波形，我们发现复合音的波形全都不是像纯音那样只有单个简谐振动的波形，复杂了非常多。我们还发现，同样是A4这个音，复合音在A4这个音后方多出了非常多频率，通过观察我们就能直观地理解上面所说的概念：

复合音=基音+泛音。

同时，音色不同的复合音，他们的泛音也是有所不同的：可能这个复合音的第2n-1个泛音都比另一个高，也可能这个复合音的第2n个泛音都比另一个高；也可能是无规律的，随机某个泛音比另一个高；或者，这个复合音和另一个复合音比，少、多了很多谐频（只有奇次谐波的闭口管）；甚至泛音还可以比基音的音量高（比如上图的第一泛音）

铜管是个特殊情况，被当作基音的音实际上是第一泛音，由于特殊的管径构造（极小开口-极大开口）导致了管径所对应的基音无法发出，整个振动属于二次谐波模式，这也是为什么一个指法下的小号，吹出的第一个音和第二个音是纯五度（见泛音列第一泛音和第二泛音）。

实际上，一个复合音的泛音是无穷无尽的。我们上图中观察的复合音，因为采样录制设备的关系，最高只能录制到20kHz左右的声音，所以频谱上，到了20kHz左右的地方就被截止了。实际上自然发出的声音，泛音的个数是无穷的。

那么人们是怎样知道泛音有哪些频率的呢？

iv. 泛音产生的原理和数学模型

我们必须先了解一个名词：驻波。

驻波 （stationary wave） 频率相同、传输方向相反的两种波（不一定是电波），沿传输线形成的一种分布状态。——百度百科

先看一遍视频演示。

再拿实际生活中的驻波现象来说明一下：
在一个西面都是墙壁、长边为10m的房间内放置一个扬声器，并且扬声器的喇叭口对准房间的短边的墙壁，播放一个340Hz的声音，效果就是下图：

声波被墙壁反射，一部分声波在两个墙壁之间来回相撞。

这时候会发生一些神奇的事情。如果你沿着房间的长边方向来回走动，你会发现：走到不同的位置，听到的音量不同，而声音频率始终是340Hz。

这就是房间中的驻波现象。

两个声波反射后不是相撞了么，在房间长度刚好的情况下，这个340Hz的两个波形不断被反射、重合，他们撞在一起的时候，会形成下面这种模式：

如图11-40所示，长虚线表示向右传播的波，短虚线表示向左传播的波：

在t=0时，入射波与反射波刚好完全重合，合成波为一条余弦曲线。

在t=T/8 (T代表周期)时，两波的合成波的振幅和刚开始比变小了，重合的地方，合成波振幅最大，y轴上的数值互为相反数的地方，合成波振幅最小。

在t=T/4时，两波正好相位相反，结果就是完全抵消为0.

在t=3T/8时，随着波的继续运动，合成波的幅度又开始增大了。

在t=T/2时，幅度又变到了最大。

……此后不断这样循环往复……

注：上图（图11-40）及对图的描述解释，选改于《普通物理学》高教版下册。

动态图如下：

看起来很像形成了一个新的波形？

我们听到的声音频率仍然是340Hz，不会因为产生了驻波而改变了频率，每个质点仍然每秒振动340次。但是不同的是，每个质点振动的幅度发生了变化。从动图应该能很直观地感受到，对于不同的位置，振幅做起了余弦函数变化。

在红色的波节那个地方，质点几乎不动（实际情况还是会动一点的），所以振幅最小，听到的声音最小；在波腹那个地方，质点上下运动的幅度最大，也就是振幅最大，听到的声音最大。如果在房间内走动，会感觉到振幅就像个余弦函数一样，时高时低。

我们可以用公式来表示：

A'就是这个驻波的振幅，这个振幅随着位置不同，做着余弦函数变化。而声音的频率仍然是和入（反）射波一样。

为什么会这么刚好形成驻波呢？正好形成驻波是因为房间长度和波长有一定的关系，只要我频率变了，或者房间长度变了，就不会产生这么刚好的情况了。

那么一定的关系是哪种关系？重点来了。

波长（wavelength）是指波在一个振动周期内传播的距离。——百度百科

我们用λ表示波长。它和周期的关系：λ=cT。其中c代表波速，因为这个例子在空气中，所以直接等于声速，约为340m/s，T代表波形的周期，因为波形的频率f=1/T，所以可以写成：

λ=c/f，或c=λf.

这样我们就知道，340Hz的声波，他的波长是1m。

对于一个固定的频率f0，要在房间里形成f0的稳定的驻波，房间的长度必须要等于f0二分之波长的整数倍。

这是固定了频率后，就有N种长度的房间可以满足这个规律；

反过来，对于一个固定的房间长度L0，在这个房间里播放的频率必须是房间长度的2/n倍，就产生驻波，这是固定了房间长度L0，就有N种频率可以满足这种规律。

我们设房间长度为L，就有如下两个公式：

接下来解释为什么是这种关系：

在普通房间中，声音在各个方向上的反射都是存在的，任何频率，在经过反射、叠加后，可能削减，可能增强：第一次反射波与入射波的相位可能存在一部分叠加，而二次反射波的相位却又导致衰减，第三次反射可能让衰减更严重……

就在这种时候，唯有一种特殊情况：

如果波形的波长正好是墙面间长度的1/2整数倍，根据波形在硬质界面上的反射规律（反射波形f(x)，等于原波形在墙面后的自由传播延伸部分以墙面为对称轴直接翻转得到的波形），反射波碰到另一墙面，变成第二次反射波后正好等于入射波，二次反射波再次碰到墙面，变成三次反射波后正好等于一次反射波……这就意味着，满足规律的这一类波形存在加强，可以持续存在，不会像其它不满足规律的频率一样，二次反射波把入射波削没了或是把它变样了。

回归到乐器，对于弦乐器，是不是都是通过定弦来确定音高的？换句话说，是不是先确定好房间长度，再让它产生音高？一根弦，只要它的两端固定好了，它的紧张程度确定了，那么这根弦能产生的频率就已经被固定下来了，属于固定频率范围内的音能够持续存在，其它频率的音马上就会消散。一根弦被弹拨/拉时，能量会向两端传播，最后反弹回来产生驻波，只有这些驻波对应的频率才会长久存在。

“所有的乐器，无论是弦乐还是管乐、或者鼓乐器都是驻驻波的振动而产生特定的音频。”——《普通物理学》高教版

如果有一根琴弦，他的基频是440Hz，拿个音响在弦旁边播放440Hz或是属于驻波模式中其它频率的声波，琴弦就会被共振。

实际上在演奏弦乐器时，不管是拉还是弹，都是对其施加一个能量，用这个能量去激励琴弦，造成一个初始的振动。由于驻波模式的存在，原本看似无规则的振动马上会呈现出规则：只有驻波中对应的频率才会保留，并且持续存在。改变能量的大小，可以改变振动幅度，改变音量。

有了上面这个公式，我们要怎么确定一根弦能够产生的频率呢？是否可以代入公式：

，其中c指的是波速。

我们上面在研究房间内驻波的时候，因为介质是空气，所以我们可以直接用空气中声速的数值340m/s带进去计算。但是现在是在弦上，因为弦的声速与弦的紧张程度、密度等物理量相关，而这些物理量都是待测量的，所以不能简单地代入这个公式。

不过对于一根调好的琴弦，一旦基频确定了，所有泛音就可以得出来了。

根据先前的公式 ，可以思考得到在琴弦上驻波频率的关系：

这就是一根弦能够振动的频率画出来的样子，n可以无限往下延展。这样我们就可以得到几乎所有乐理书上共有的解释：泛音是分段振动所产生的。

我们假设一根0.5m的弦，它在两端固定好、紧张程度确定的情况下，全段振动的频率是340Hz，那么我们可以写出它所有的泛音：

我们发现，波长呈整数倍减少，频率呈整数倍增大。

根据上面的推算，基频确定后，假设基频频率为j，第n个分音的频率等于j乘以n，第x个泛音的频率等于j乘以（x+1）.那么我们就能计算出一个弦产生的音的所有泛音了。泛音和基音的频率关系是按顺序整数倍增大的。

为了让大家更好理解，我这里引用“比的原理”这个网站的一篇文章“图解泛音及形成原理”内的一张动图和视频来帮助大家理解。

这动图做的太好了，这就是“分段振动”未结合时的状态。

实际发声中，分段振动都是结合在一起发声的。千言万语不如一见，下面有个视频演示做的非常好，大家一定要看看！

同样选自“比的原理”这个网站。附上网址：比的原理 | 科学的欣赏流行乐 ，侵删！

好的，相信大家对泛音都有一定了解了。我们已经推导出了一个公式

同时，这个公式适用于两端固定的弦或是两端开口的空气柱。

一端固定的棒（片）或一端开口的空气柱有另一个公式： 一端固定的棒（片）或一端开口的空气柱能产生的泛频有个特点：只有奇次谐波（即偶次泛频）。

为什么？见我关于木管声学的回答：

请大神帮忙讲解木管乐器的泛音，超吹是专门用来吹奏泛音的技术吗？谢谢！? - 木三聿的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/385256345/answer/1132996099

泛频的好坏对乐器的音色影响非常大。这就是人们修造乐器几百年留下来的手艺，为什么有人说某个牌子的乐器音色太差，就是因为那个牌子没有什么手艺，甚至同一个牌子的不同乐器都能有两种音色，选材和手艺偏差可是影响很大的。木管的音准可以靠开孔微调，无自由滑阀的铜管主要吹奏泛音列（纯律），圆号还能通过手部在号口的调整控制音高。弦乐器在击、拨、拉上有不同的声学原理。

二，音乐中的泛音

i.泛音列

将泛音按照音高顺序，一个个排出来，就组成了泛音列。

上面这张图就是C2这个音的泛音列，每一个音都有泛音列。泛音是无限的，这个图只列到了第16分音。

图中，振动数（每秒振动周期数量）即频率，泛音的次序表示当前的音是第几分音（这个真奇怪……直接写分音的次序不就好了吗……很容易让人误解为基音就是第一泛音。）最前面的音C2（或者说大字组的C）就是基音，接下来的一些音就都是它的泛音在五线谱上的表示，我们可以发现一个规律：泛音越高越紧密。

同时，第7、11、14分音左边有个小减号，代表实际上的泛音的频率比记谱音高低一些，第13分音左右有个加号，代表实际音高高一些（有的泛音列直接写成了A5）。这是由于律制的原因，让一些音都不会完全与泛音的频率相等，实际上在十二平均律中除了纯八度，泛音列中的音高和实际音高都有差别。

用五线谱表示的泛音列，直观地给我们体现了泛音在音乐中的相互关系：第1、2泛音与基音之间是纯八和纯五、到第7分音可以组成一个大小7和弦……

泛音列也能够解释人脑对音程或和弦的协和与不协和的感知：几个音组合在一起，如果泛音列组合越复杂，听起来越不协和，如果泛音列组合越简单，听起来越协和。

在现代的研究中，协和与不协和的理论往往是建立在感知声音中泛音部分的基础上。在这种情况下，协和与不协和的区分仅在具有泛音的声音上才能体现出来。——Wikipedia

我们举个例子，看泛音列前两个音（第2、3分音）是什么？是C3和G3吧？他们和基音分别什么关系？纯八和纯五，最协和的两个音程。纯八和纯五两个音结合在一起，泛音列重合的音非常多，泛音列的组合就越简单，所以听起来是最协和的。同样的，像大二度小二度，泛音列重合的音很少，组合很复杂，听起来很不协和。

人们关于协和与不协和的理论研究，在生理上的解释主要有3种，其中之一：
声音相关性理论（德语：Klangsverwandtschaftstheorie）：这种观点由亥姆霍兹提出。他认为，两个音的泛音部分重叠的越多，则这两个音就更加协和。——Wikipedia

严格来说人类对协和与不协和的感知与社会环境是有直接关系的，从小在某一音乐环境下熏陶长大，对音乐的感知也是符合这种音乐环境的审美的。

铜管乐是非常有意思的乐器，它是用嘴唇振动去带动管内空气振动。在一个指法下的小号上，只能吹出泛音列中的音，因为管身长度固定了，能吹出的音高只能是泛音列中的音（而圆号可以靠放进管口的手来调整音高），所以就加入了3个按钮，按下不同按钮会让空气经过管的路径变长或变短，这样改变了管长得到不同音高，组合出了其它的音。同时也有个有趣的地方，一个降B调小号在不按键的时候吹出的音是bB, F, bB, D, F, bA, bB. 放到泛音列上，就好像是从第1泛音开始吹奏的，而不是从基音开始吹奏的。这是因为铜管乐的特殊构造：

铜管类似圆锥形，圆锥的尖嘴一端，那一大段的管径都极小，然而到了圆锥开放的一端，管径又迅速变得非常大，这时候会发生一种特殊的情况：基频被抑制了。假设一根铜管吹出的最低音是f1，则根据铜管长度实际计算出来的最低音是比f1还要低八度的音f0。不加阀键的自然铜管吹出的音都是泛音列的音，而其遵循的音列是从f0的泛音列的第一泛音开始，往后所有的音（基音没了）。

所以小号这样的乐器，原本的基音是发不出来的，吹奏第一个音激发的是二次谐波模式，吹奏第二个音激发的是三次谐波模式，第三个音是第四次谐波模式……。

虽然加有阀键的小号、圆号、萨克斯号等铜管乐器，它们的基本三个阀键的七种按键规则可以组合成十二个半音，按原理，它们全部属于超吹（over blowing）的泛音，但在演奏时并不作为泛音来记忆，而是作为普通音来记忆。我们通常忽略了一个现象：阀键铜管的发音都不用基音，全部用泛音，因此，铜管乐器也称为“无基音乐器”。……它们可称为“直用泛音”。——《音乐周报》应有勤

ii.律学

音乐的律学可不是研究法律，而是研究律制的学问，律制就是音乐中产生音高的数学方法。

比如拿一个音作为标准音，就可以根据律制产生出钢琴上所有的88个音。这些音会因为我采用的律制不同，而导致某些音音高不同。

常用的三大律制有：十二平均律，五度相生律（中国有三分损益法），纯律。

与泛音联系最紧密的应该就是纯律了。

纯律就是取出泛音列中的第三分音、第五分音，得到了大3度和5度的比例，同样再通过5度减去大3度，就能得到小3度的比例…通过比例换算、相互加减，就能得到全部12个音。这种方法得出来的音，演奏和弦时非常的协和，但调性转换频繁的时候，对于钢琴这种固定调音的键盘乐器就无法适用，所以键盘乐器还是适用于十二平均律。

实际历史上还有除了3大律制以外的很多律制，它们的发展历程也是挺有趣的，感兴趣的可以自己了解。

iii. 演奏技法与演唱的音色

大部分弦乐器、管乐器都具有泛音奏法，他们的音色和触发方式都各不相同。原理都是通过人为减弱基音，增强泛音来获得的。

木管乐器中，高音的超吹全都是泛音，或者说是二次及二次以上的谐波振动模式。（见本人另一篇回答：

）

弦乐器的自然泛音是直接在弦上虚按，而人工泛音则是在实按的基础上虚按，改变音高。

声乐中讲究共鸣，实际上就是通过共鸣腔体调整泛音含量，提高声音品质，唱出泛音丰富的动听音色。同时，人的嗓子是一个面，面振动的情况可是比弦振动还要复杂的多的。

发声方法好的演唱者所呈现的歌声，或高级麦克风的音质之所以听起来舒服，原因就在于其泛音的丰润度（当然，并不只有这个原因）。因此，当以好的音质录下好的歌声，并适当的将那丰润的泛音加以提升的效果当然不在话下，就算只是想让歌声听起来更有质感，加强泛音也是相当可贵的诀窍。——《音圧アップのためのＤＴＭミキシング入門講座！》石田剛毅

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