为什么现在关于超弦理论的相关科学研究成果几乎听不到了？ 第1页

为什么现在关于超弦理论的相关科学研究成果几乎听不到了？

大概是问题太小众了吧 ...

超弦理论的一个分支试图把 geometric Langlands Program 联系到一起 ...

首先是关于 Galois representations。令 作为关于 finite field （这里闹了笑话，对不起各位）之 上的曲线而 作为位于 上的场之 rational functions。那么 Galois group 将作为一种 fundamental group 的见证，同时 representations unramified 形式的 points 之有限集被看作是 上的 local systems。而当 是一个 上的一个紧致 projective curve 其等价于：存在一个紧致黎曼曲面。那么通过 local systems 会表明了位于 之上关于 vector spaces 的一个 locally constant sheaf 的存在性，在 的 analytic topology 内通过位于 处的 small discs centered 来拥有基于一个 point 之 open neighborhoods 的形式而存在。那么作为 之 Zariski topology 的且与 相关的 open neighborhoods 会为 的有限多个 points 之 complements。更加具体地：对于每一个 的 open analytic 子集 会存在一个满足 usual compatibilities [hint：对于所有开集 之 inclusions 的 restriction maps 会使得若 作为开子集以及给定 sections 使得 的 restrictions 与 是 coincide 的，那么存在一个 上的 之 unique section 其每一个 的 restriction 为 .] 同时位于 上关于 之 sections 的 - vector space 以及对于每一个 point 存在一个 open neighborhood 使得存在至 的 restriction 作为至 constant sheaf 的 isomorphic。其空间 是一个 fixed vector space . 通过 open subsets 来选择一个 之 covering 使得 作为 constant sheaf . 这些 sheaves 的 identification 位于 overlaps 作为 的 constant 元素。而一个 上的 locally constant sheaf 等价于 fundamental group 至 的一个 homomorphism。给定一个 homomorphism 考虑一个平凡的 local system 位于 的 universal cover pointed 上。其群 作用于 上。定义一个 上的local system 作为 quotient： 其中 . 不过对于一个 complex vector bundle 而言其自身是无法给出这样的一个 local system 的：由于 可以平凡地“联系”到一个 small open analytic 子集 其在 overlaps 之上的 transition functions 在广义上为 non-constant functions . 为了使得它们从 non-constant 变为 constant 那么得需要一个 上的 additional rigidity 通过 constant transition functions 来给出在每一个开子集上具有 trivializations 性质的 preferred system 会使得在 overlaps 上各不相同。而关于在 上的一个 flat connection 是一个具有 - 操作的系统。对于每一个开子集 以及 overlaps 上的 compatible 而言有 同时对 上 之 smooth section 的 空间所存在的一个 linear operator 其中 为 上的一个 vector field 进行赋值 [assign]。并且满足 Leibniz rule： 以及 与条件： 与 . 若 operators 集 其中 在所有的位于 之上的 holomorphic vector fields 上作用同时满足 Leibniz rule 与条件以及 是一个在 之上的 holomorphic function 而 为 之上 的 holomorphic section 那么会是一个 holomorphic flat connection。给定一个满足 上的 flat connection 之 vector bundle 可以看到一个 之上的 locally constant sheaf 会作为一个接受 之 的 horizontal sections 的 sheaf。若 是紧致的那么称之为 Riemann-Hilbert correspondence。若一个 local systems 是定义在非紧致 curves 其中 是一个 projective curve 以及 是一个有限集。那么这样的 local systems 称之为 ramified。

令 为 上的紧致 projective connected algebraic curve 而 为 上 rational functions 的 field 。令 为 complex reductive algebraic group 那么会有一 homomorphism 会是一个 homomorphism . 很熟悉的 作为 上的 principal - bundle 之 isomorphism 类的集合。根据 Riemann-Hilbert correspondence 若 是一个 algebraic variety 那么 - module 的 category 对于 上的 regular singularities 而言等价于 上的 perverse shaves 的 category。其 对于 geometric Langlands 称之为 Hecke eigensheavs。考虑一个最简单的情况 其 作为关于 的 one-dimensional representations 之集合而 Hecke functor 满足 其中 是一个位于 上的 - module。而 Langlands program 内的 automorphic functions 将作为 Hecke operators . 其 geometric analogues 化作为 sheaves 在 上称之为 Hecke eigensheavs。那么 Hecke eigensheaf 将会作为一个拥有 以及 其中 为关于 的 finite dimensional representation。那么。其 geometric Langlands 相当于粗略的表明了对于每一个 holomorphic - bundle 同时满足一个 holomorphic connection 位于一个 complex algebraic curve 之上，存在一个 corresponding - module 位于 之上。

令 作为 的开集以及 为 上所有 holomorphic functions 的 commutative ring。定义 为对于所有的 上的 linear differential operators 其 coefficients 为 holomorphic functions。那么 的一个元素拥有形式 其中 以及 为非零整数。进一步考虑 - module 的 sheaf，令 为 上的 - 为紧致 algebraic variety 再选择一个拥有条件 的开集 其 上的 vector fields 之 sheaf 通过定义 其中 作为 上的 operators 使得有 . 而 为 其中 为非零整数。另外给定 adelic group 而 ring 会包含场 而 作为 的子群，令 作为 的一个 irreducible cuspidal automorphic representation。那么可以把它分解成一个张量积 其中每一个 都作为 的一个 irreducible representation。而对于 这样的 内 - invariants 的 space 其中 是一个一维且通过 所 spanned。那么 可以给出 上的 - invariant function。等价于存在一个 上的函数 而 作为一个 上的一条 curve 那么 irreducible unramified automorphic representations 会通过 automorphic functions 来进行编码：作为 上的函数。若存在 上的 algebraic variety 那么位于 且包含 - points 之集合之上的函数的 correct geometric counterpart 会作为 上的 complex of - adic sheaves。令 为一个 algebra homomorphism。对于 其 local system 在 上是非平凡的： 那么会存在 extensions：constant sheaf 在 之上的 - extension . 这将作为 上的 perverse sheaves。观察到：

而在超弦理论的一个分支内，Kapustin 与 Witten 给出了一个 geometric Langlands 的 physical approach。即位于四维之 的 super Yang-Mils theory。

首先给定在十维时空的 super Yang-Mils theory。令 为 gauge field：在 - bundle 之上的一个 connection。选择 anti-hermitian 那么 curvature 拥有形式 . 令 作为 fermion field。那么其 action 通过 所给出。而一个常量， bosonic Majorana-Weyl spinor 遵循 来生成超对称。

接下来根据 field strength 有

以及四维 scaler fields

那么四维 supersymmetric Yang-Mils theory 所包含的 拥有形式：

其中一个 additional term 作为 topological term 拥有形式：

其中 作为 的 Hodge dual 而 . 那么关于 拥有 两个 real parameters ： . 然后把它们合并成 complex coupling parameter . 那么可以把 当做 supersymmetric Yang-Mils theory 的 coupling constant。

现在给定一个四维流形 作为两个 Riemannn surfaces 的 product。根据 Hitchin equations 那么四维 SYM 可以 reduced 至一个拥有映射 . 可知：Hitchin moduli 空间 拥有 hyper Kähler 结构。

最终，令 为 上的一个 algebraic curve。 为 complex reductive Lie group。其 geometric Langlands 会表示对于每一个 holomorphic - bundle 满足一个 上的 holomorphic connection。那么会存在一个 Hecke eigensheaf 位于 之上 holomorphic - bundle 的 moduli space 内。同时 作为一个 - module 可以 related 至 physical sense 的 - brane。在 Hitchin moduli space 的 terms 内其对 geometric Langlands duality 的 interpreted 给出了 之上的 coherent sheaves：包含 flat connections 的 的子集，等价于 之上 - module 的 derived category。

同时 对于 而言会考虑 complex structure . 而 homological mirror symmetry 会表明 上的 - branes 之 derived categories 与 上的 - branes 应该是等价的。

最终的最终，根据 homological mirror symmetry 可能的 upper equivalence。那么有：

由于本人的操作疏忽，致使未完成的草稿影响到各位 reader。若给各位带来不必要的困惑，请原谅。不胜感激。

致谢部分：非常感谢@请叫我污神，牧童，瞿棣 所针对这一回答提出的宝贵提议。不胜感激。