向心力加速度公式 a=v²/r 是怎么推导出来的（要详细过程）？ 第1页
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给一个不太一样的视角，从数学的角度考虑这个问题。
一个质点的运动可以描述为一条光滑的参数曲线
其中就是参数时间。这个质点的速度是，加速度是。首先我们着手建立一个不依赖的基的坐标系，即自然坐标系或者Frenet标架。
Frenet标架
我们考虑一般的曲线运动，也就是与处处线性无关。
速度矢量是曲线的一个切矢量，对应方向上的单位矢量记为
我们考虑的是曲线本身的几何性质，所以要找到一个比时间更好描述曲线运动的参数——弧长。注意到这两个参数的变换Jacobian
恰好是速率。下面先暂定曲线的参数取为，最后再换回时间。
以为参数能立刻得到一个有用的结论：注意到是单位矢量，长度不变，于是有
也就是与处处正交。
单位切矢沿曲线的变化率可以表征曲线的弯曲程度，我们定义
称为曲线的曲率。在方向上的单位矢量记为
最后我们定义一个正交于和的单位矢量：
这样就构成了一个随曲线运动的右手单位正交标架，称为Frenet标架。对应的三个坐标轴分别称为切线，主法线和次法线。
运动学方程
现在我们回到以时间为参数的情况，给出Frenet标架下的运动学方程。
从速度公式
出发，求导得
这里沿切线的加速度分量是，沿主法线的加速度分量是。
匀速圆周运动
回到题目中最特殊的情况——匀速圆周运动。首先我们来求圆的曲率。圆关于弧长的参数方程为
单位切矢
曲率
即半径为的圆的曲率是。
对于匀速圆周运动，线速度恒定，于是加速度就是
其中单位矢量是时时刻刻指向圆心的（与位置矢量方向相反）。
其实上面的推导绕了很大一圈，但是这个方法的好处是能够推广到各种各样的曲线运动。
参考
- ^ 陈维桓《微分几何》
zhang-xin-hao-49-25 网友的相关建议:
估算一个上界。思路是每一轮都寻求一条最短线段，将当前包含天使的多边形，按面积等分成两个新的子多边形。再假设天使的运气足够好，每次都瞬移到等分效率较低的子多边形。
直观看出，取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积，等分效率最高。令此线段长度 ，三角形边长 ，则：
这样，初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形，易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形，于是根据假设，天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环，至于无穷，天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程：
记魔鬼速度 ，则捉住天使的时间：
这个题目如此离散，不借助于数值离散优化不易得到全局最优解，建议大家来改进这个上界吧。
按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形，上界可以改进为：
shang-ke-da-ke-shui-de-hao-xue-sheng 网友的相关建议:
估算一个上界。思路是每一轮都寻求一条最短线段，将当前包含天使的多边形，按面积等分成两个新的子多边形。再假设天使的运气足够好，每次都瞬移到等分效率较低的子多边形。
直观看出，取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积，等分效率最高。令此线段长度 ，三角形边长 ，则：
这样，初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形，易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形，于是根据假设，天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环，至于无穷，天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程：
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这个题目如此离散，不借助于数值离散优化不易得到全局最优解，建议大家来改进这个上界吧。
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