物理学史上有哪些著名的，用量纲分析/数量级分析/线度分析解决的问题？ 第1页

最有名的当属那位凭借着几张照片就判断出原子弹爆炸当量的神人，参看赵凯华的《定性与半定量物理学》。

我自己印象最深的是这个问题：

除此之外其实还有一个问题：

自然界中存在着引力相互作用的束缚态（太阳系）、强相互作用的束缚态（原子核）、电磁相互作用的束缚态（原子），但迄今为止我们却从未发现过弱相互作用的束缚态，为什么？

请仿照电子偶素体系估算一下，当弱相互作用的力程和玻尔半径大致相等时，粒子质量的数量级。

汤川提笔找介子，费米撒纸算核爆

话说那是在1935年，汤川正在解决核力的问题。人们知道原子核是由质子和中子构成的，但是质子都是带正电荷，所以原子核内部的质子之间应该是有强烈的电磁斥力的，但是原子核能稳定存在，为了解释这个现象，人们假设一种非常强的，能把质子和中子束缚在一起的力，叫做“强力”，这种力的作用距离只有原子核的半径那么大，大约 。另外，又知道光子是传递电磁力的媒介粒子，汤川秀树把强力与电磁力比较，认为强力也应该有一种媒介粒子进行传递。光子无质量，所以可以传播到无穷远；强力粒子应该有质量，这样才能把作用距离限制住。那么该怎么估计这个粒子的质量呢？

考虑标量场的Klein-Gordon方程：

，

为了方便不考虑时间的变化，则：

，

这里的 就是媒介粒子的质量。点电荷的静电势方程：

，

对比两个式子，汤川把前一个式子解释成强力，或者叫做核力的势方程。这个方程的解可以写作：

，

其中 , 为一个系数，此处不重要。这样一个结果其实很有意思，可以看到，因为势能函数存在一个指数项，因此势能随着距离迅速降低，如果 大，则降低的缓慢，如果非常小，则势能函数降低的非常迅速。势能的主要作用范围其实是和 产不多数量级的，此处即 ，再根据 ，可以得到：

。这就是汤川秀树得到的核力介子的质量，后来在1947的宇宙线中观测到了这种粒子，其质量为 ，完全符合预测结果！

另，如果考虑质量为0的情况，那么 ，也就是说传播距离为无穷远，势能函数变为：
，这不正好就是静电势嘛！而且光子的质量确实零！Everything make sense！

再说费米。美国原子弹实验时费米不被允许进入实验地区，可是这种事情怎么会难倒费米大神呢？费米待在距离爆炸中心约10英里处。爆炸40秒后，爆炸的气浪到达费米所在地，他将事先准备好的碎纸片从离地六英尺高的地方洒落，纸片被气浪卷走，他根据纸片飞行的距离（两米半）估算了核爆炸的“当量数”约为一万吨TNT炸药。后来证明这个结果和仪器测量值十分接近。

这个里面的计算细节在此就不表了。说到费米，最令人感觉神奇的就是他的估算能力，上述估算核弹当量是比较著名的一个，还有一个是“芝加哥有多少个钢琴师调音师”，再有一个就是费米悖论，这些都是典型的估算问题的例子。

（PS 关于费米的这个例子我不是很清楚，欢迎大神补充）

这正是

世人皆言物理难，宇宙粒子惹人烦。

时间长短不固定，薛氏猫咪生死谈。

汤川有心找介子，费米无忧算核弹。

化繁为简现真理，理学佳话百年传。

Reference

1. 杜东生，杨茂志。粒子物理导论。
2. 关于费米用纸片估算原子弹的疑问 | 万物至理小组 | 果壳网 科技有意思

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这个问题下，G.I.Taylor估算原子弹爆炸当量一直没人答，似乎是在等着我这个流体力学的学生。先想说一点，尽管各种资料上都写着G.I.Taylor是一名物理学家，但更准确地说，他是一名流体力学家，在流体力学界久负盛名。比如我熟悉的多相流计算领域，直至今天，G.I.Taylor的文章也一直在被引用。

原子弹爆炸过程中，实时半径 与空气密度 , 时间 ，爆炸能量 有关。借由量纲分析，

可得到，

那么可在对数坐标下画出 图像，与当时所摄照片结果一致。

其中 为自变量为热容比( )的一个低阶函数，在所有条件下取值为1。

根据如下照片结果，取参数

。

可计算得到 ,

约为18.4千吨TNT当量，实际的结果是20千吨TNT当量，相当接近。此事让美国军方十分震惊，一度认为是内部出现了间谍。由此可窥见量纲分析的力量。实际上，G.I.Taylor对此问题的分析过程不全是这样，他在最初的分析中引入了偏微分方程，且对系数 进行了探讨，例如，一个更有效的近似是

,

相关的资料其实还挺多的，可参考如下网页

International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
Nuclear weapon yield | Wikiwand