在数学上,我们以如下方式定义灵魂:
对于一个完备的、非负截面曲率的非紧黎曼流形M,存在一个totally convex的紧子流形S,使得M可以形变收缩到S。事实上,我们有更强的结论:存在一个M到S的Riemannian submersion。这个S就被称为M的灵魂(soul)。这个结论现在被称为灵魂定理(soul theorem),证明主要用到了距离函数的凸性 (convexity of distance function)。
那么为什么S被命名为灵魂呢?从拓扑上看,S包含了M的所有同伦信息(因为S是M的形变收缩核);从几何上看,S是totally convex,也就推出S是totally geodesic,那么S也继承了M的曲率信息。
然后还有更神奇的事情:给定M,它的所有灵魂都是等距同构的(isometric);M的所有灵魂的集合被称为天堂(heaven)。
我不是开玩笑。。大约20多年前,同样是在宾大,一位同样学微分几何的中国数学PhD,解决了soul problem中的一些问题(具体结论我不清楚,可能就是证明了所有灵魂等距?)他在自己的PhD thesis中将所有灵魂的集合命名为heaven。。
不过他好像一毕业就离开学术界了。。
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诶我发现这个事情在夏铭辰的答案里已经讲过了。。
把这个问题吵火了,然后让微信部门的人看到。然后等待版本更新。
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