宇宙是不连续的，那为什么微积分可以成立？ 第1页

实名反对所有高赞答案，你们走远了，这题小学二年级学过。

题主的问题可以简单叙述为：微积分可以积不连续函数吗？

先说严格的标准回答，非数学专业的可以直接跳过看最后的例子：

一个函数 是可 可积的（后面简称黎曼可积，黎曼积分是大家高数里学的那类积分方法），记为 ，其中 是单调增函数。

定理1：假设 在区间 上有界，存在有限个间断点（不连续点）， 在 的每个间断点上连续，那么 .

证明：（只给思路，看得懂思路就看得懂过程，看不懂思路过程给了也没用）因为 有界，间断点有限，设使 间断的点组成的集为 ，所以存在一个开覆盖（ ）盖住 。然后取 上的分划 ( ) 使得 包含 中每个元素，则因为 连续，涵盖这部分间断点的地方可做黎曼和，则可积；另一部分 ，就是 中不含 的那部分元素，因为这部分 是连续的，所以也可以积，故区间 上 可积。

定理2：设单位阶跃函数（ ）为： ，如果 ， 在 上有界， 在 点连续（右连续即可），而 ，那么 .

定理3：对 ， ， 收敛， 是 内一串不同的点，且 ， 在 上连续，则： .

标注：定理1说明函数存在间断点依然可通过合适的分划方法来使得 连续，则函数 可积；定理2和定理3说明尽管 不连续，成了阶跃函数（像阶梯一样一层一层的），函数 依然可积。

那么我们就可以尝试将 积分转化为简单的黎曼（ ）积分。啥意思呢？就是这个式子：

可能就有人问了，这不是显然的吗？ 是 ，把右边的 换成 不就成了，这还要证？对。要证，找分划方法，然后证明黎曼和为积分就行，具体就不展开讲了。

所以，综上！我们可以得出今天的重大结论了：

级数和黎曼积分在多数情形下可视为同一个东西

多数情况？哪些？就是上面给出的那些，比如 连续但 间断阶跃，或者 有限间断但 连续，总之，除非人为故意构造一些极其特别的函数，一般来说都是黎曼可积的，也就是积分和级数可以视为同一个东西。

举个例子（摘自 Rudin 数学分析 6.18）：

设一根长度为1的直导线绕着一个轴旋转，导线关于轴的惯性矩是： ，其中 是导线关于导线长度的质量，定义在区间 上， 是导线长度。那么有两种情况：导线密度 是连续的，即 ，则可得惯性矩为： ；另一种情况：导线密度不是连续的，而是集中在某些点 上，该点上质量为 ，则惯性矩为： .

可以根据之前的定理得知这两种情形都是等价的，即： ，他们的本质都是可以做黎曼积分的。

这两种情况可能就是题主容易产生混淆的两种，认为之前我们的世界是第一种所以积分是可行的，但现在世界是量子化的（第二种情况），所以积分不行了。但通过回归微积分的原始定义和构造方法，我们可以很自信地继续使用微积分来处理量子世界。

标注：不要评论说在知乎上写这些东西没人看得懂所以不让我写，谢谢。我纯粹是来复习作业题的。而且，这么严格标准的答案才对得起这么直指人心的问题鸭。

======updated:2020-11-20 现在来尝试补充微分的可行性======

假定现实世界是具有量子性质的，即是有最基本的不可再分的单元的（比如原子，假设原子电子中微子都不影响讨论，只要有一个最小单位尺寸就行）。

我们看这样一个函数： ，其中中括号是取整函数，比如 .

这个函数明显不连续，所以肯定是不可微的。如果世界的组成是连续的，则函数应该是像 这样，而不是量子化的 ，求出来的微分函数应该是 而不是 .

所以我们的做法是退化成级数，回归黎曼积分最原始的定义，构造黎曼积分就是在构造级数，使得上级数和等于下级数和，则此时的数值为积分值。那么反过来，微分至少需要连续才能微，不连续就不可能微，便只能退化到级数形式来求出通项。比如这里的函数 写成级数是 ，则通项是： ，这是不是很符合我们想要的结果？

所以现实世界是什么样的我们先放着不去讨论，我们假设现实世界就是不连续的，但多一个条件，就是现实世界具备一个基本的量子尺度，即这个尺度是所有物质尺度的最小公因子，低于这个尺度的讨论是无意义的。那么，我们就可以利用这类取整函数来处理之前认为世界是连续的所得出来的函数，使得这类函数退化成级数，失去连续性但依然可以求“导”（求通项），而且计算出来的结果也是和之前假定的连续函数结果一致。

也有的方法是把不连续的函数延拓到复平面来构造一个连续函数从而可微，严格的证明我日后再来补充吧，总之目的地都是一样的。我只想说，微积分的方法对于连续的问题可以解决得很好，对于不连续的问题，给出一些合理的限制后照样可以解决得很好。

P.S. 民科一下，我其实认为世界是连续的，什么普朗克尺度的都是构造出来的毫无意义的理论，说白了，我还是一个波动学说的坚定拥护者呢，才不相信什么波粒二象性。。（民科无疑了。。）

首先是因为你读的科普读物没有正确解释“普朗克尺度”：这根本就不是说宇宙在空间上不连续。

在粒子物理与物理宇宙学等领域中，普朗克尺度指约1.22E28电子伏特的能量尺度，按质能等价原理相当于普朗克质量2.17645E-8千克，通过自然单位制之间的关联，可以得出普朗克尺度对应的长度和时间，但认定宇宙以此为单位分断是不被当前的观测事实支持的。2020年发表的一项研究给出了十分偶然的观测数据：

• ESPRESSO对准了一团180亿光年外的气体云，它后面有个明亮的光源。气体云中存在铁原子，能以特定的波长吸收背景光。从地球上的我们看来，如果时空是连续的，那么由气体云导致的背景光间隙应该和气体云就在我们旁边时一样狭窄。如果时空是离散的，那么在数十亿光年范围内传播的光将会扩散开来，改变间隙的宽度。
• 结果是，ESPRESSO没有发现任何时空离散的迹象。

• 这意味着，如果时空离散，那我们需要超过180亿光年距离上的此类偶然目标才能用目前的技术观测到它的迹象。这些研究结果已经足以排除一些量子引力模型。
• 在普朗克尺度下，引力的强度和其它基本力分庭抗礼，引力的不可重整化成为严峻问题，不能继续使用目前描述亚原子粒子的量子场论。现在人类还没有建立起完整的量子引力论来解决这些问题。

其次是因为微积分的成立根本不需要靠“宇宙连续”作为前提，而且你不觉得微积分里的各种间断点就已经动摇了你的前提么。

微积分并不要求“函数连续”，就连狄利克雷函数那样处处不连续的东西也只是黎曼不可积，可以使用勒贝格积分。

逻辑自洽的数学体系不需要靠“现实”充当证据，你在一个真正不连续的宇宙里仍然可以创立和使用描述连续变化的数学。同样地，能够创立连续的或离散的数学模型，都不代表宇宙本身的连续或离散。

数学理论只要自洽就是成立的。

但是不同的物理模型需要不同的数学。

如果物理世界对应的是离散的，那么相应地，积分就要换成求和，导数会换成差商。

这个答案指出了，求和在理论上可以看作一种积分。

不过，如果积分根本不重要，那么把求和纳入积分理论也用处不大。

我想补充一下，在具体的计算中，求和也可以通过积分来算，也就是欧拉-麦克劳林公式。

也就是说，即使物理模型只用到求和，积分也能在一定程度上发挥作用。

描述真实世界的，可能是微分方程，也可能是差分方程。

一般来说，简单的微分方程更容易得到公式解，但数值计算的情况下差分方程更容易交给计算机求数值解。

微分方程比较容易近似成差分方程，差分方程在一定条件下可以近似成微分方程。

不管描述真实世界的是哪种方程，你研究另一个都不亏。