庞加莱重现能代表我们现在的世界可以轮回吗？ 第1页

这里来介绍一下庞加莱重现的相关问题。

庞加莱回归定理的简介

所谓庞加莱回归定理，是研究动力学系统的一个重要的内容。这里简单给出数学上的介绍，如果看不懂这一部分可以直接跳过，阅读下一部分的内容。

我们设 是任意的一个集合， 是 的一个 代数， 是 上的测度。则 称为一个测度空间。若 ，则称其为有限测度空间，否则是无限测度空间。当取1时则成为概率空间。现在设 是测度空间， 称为可测，指 。这时， ，有 ，则称是保测的。如果 是双射且 均保测，则称为可逆的。如果是一个测度空间，是保测映射，则称 为保测变换。此时我们说 是一个保测系统。若 可逆，则称为可逆保测系统。

以上是一些基本概念，保测系统有很多基本性质，比如下面给出一个。我们取一个非负的 ，对于任意的 ，总有 。为了说明这一点，我们令：

则有：

此时说明 为零测度即可，这个可以转化为说明 测度趋于零。令：

则有：

于是我们得到了， 有：

以上只是一个简单的例子，利用这些保测变换的性质，我们可以推导计算，得出许多有用的定理，庞加莱定理就是这样的。它是这么说的：

庞加莱回归定理：

设 是一个保测系统， ，且 ,则 中几乎所有点在 的作用下都将无穷次回归 。

庞加莱定理还有很多等价的表述，比如再举一个：

设 是一个保测系统， 是可测函数，则对于几乎处处的 有：

保测系统具有深刻的回归性，比庞加莱定理更深入的还有如下定理：

设 是一个概率保测系统， ，则：

在自然数集 中是相对稠的，即存在有限子集 使：

这个叫辛钦回归定理。这个定理在群作用上还可以继续推广，还可以推广至连续形式。

庞加莱回归定理与热力学第二定律

下面是比较通俗的部分。庞加莱回归定理可以通俗表述为，对于一个经典孤立的动力学系统，必将在有限时间内回归到任意接近初始态的位置。也就是所谓的始态复现。这个定理可以说在当时一度挑战了热力学第二定律。

热力学第二定律有很多表述，比如：不可能把热从低温物体传到高温物体而不产生其他影响，或不可能从单一热源取热使之完全转换为有用的功而不产生其他影响，或不可逆热力过程中熵的微增量总是大于零。又称“熵增定律"。表明了在自然过程中，一个孤立系统的总混乱度(即"熵")不会减小。初学者注意“而不产生其他影响”这个表述，考试经常挖坑。那么，这个定律似乎违背了庞加莱定理，那么究竟是不是这样呢？到底热学系统是不是会“六道轮回”呢？我们可以接着往下看。

我们可以从理想气体的真空自由膨胀来探究一下热力学第二定律所谓熵增的过程。这是一个不可逆的热力学过程，气体在绝热系统内自由膨胀，比如一个气室，一边有理想气体（图中深色区域），一边是真空，中间有一个隔板，抽去隔板，气体就自由扩散了。

我们可以利用热力学方法计算熵变：因为熵是态函数，所以我们可以设计过程，即n摩尔理想气体从温度为T的热源准静态吸热由初态 等温膨胀到末态，这个过程很容易计算熵变：

但是这么计算不够直观地反映系统混乱程度的变化，我们可以用玻尔兹曼熵来看问题：

分子分布的微观状态数应该与体积正比，分子活动体积在膨胀前后变为原来的 ,状态数也应该变为倍，n摩尔气体分子数为 ,微观状态数增加为倍，于是有：

与上面的结果是一样的。以上就是简单的对于熵增的例子，可是这一过程被热力学第二定律所肯定，但是好像不符合庞加莱定理。事实上，我们可以通过概率的角度研究这一问题。我们把理想气体自由膨胀简化，只看一个气体粒子。这个粒子的微观状态数只有两种可能：在左边和在右边。我们初态关闭阀门，粒子只能在左边，打开后粒子在左边的几率和右边的几率各为一半，粒子运动相当于每一次抛一枚硬币，这个时候，庞加莱复现是很容易的，粒子运动到左边就回归了。但是扩展到初态有两个分子，情况就变化了：这个时候微观状态数有4中可能：1、2左，1左2右，1右2左，1、2右。每一次运动后，回归的几率变小了，成了四分之一。对于N个分子，微观状态数的概率是 。对于气体分子的数量来说，是以十的几十个数量级往上计算的，这个概率微乎其微。所以，粒子的运动趋向于平衡态。那么，庞加莱回归是怎么一回事呢？事实上这个回归要依靠涨落来实现，也就是，粒子系统不会完完全全精准固定在平衡态，而是会在平衡态附近产生涨落。比如抛硬币，抛一百次，正面次数有可能并不精准等于50，而是会有偏差，这就是涨落。随着抛硬币的次数增多，概率越发趋近0.5，涨落就越小。对于粒子系统，数量极其庞大，涨落也就微乎其微。当然，概率再小的事情，只要重复次数无限大，也必然会发生。这就是庞加莱回归的原因。庞加莱回归依靠涨落完成，重复实验次数无限大满足回归的涨落必然会发生。但是每次实验在现实中都需要时间，粒子的运动一样。满足庞加莱回归的涨落可能发生所需要的时间太长了。仅仅是对于一盒气体，这样的回归所需要的时间也远远超出了宇宙的年龄，所以，现实中庞加莱回归对于真实的系统来说不可能出现。这也是热力学第二定律要求的：“有限时空”这一条件。

所以，热力学第二定律依然是科学研究中较为普适的定律，“轮回”的现象也不会发生。

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