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氢原子在基态 ψ 态的动能期望值公式是什么? 第1页

  

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这里我来写一个很简单的方法,可以直接从氢原子能级看出答案:

在忽略精细结构等修正的情况下,氢原子的能级为: ,其中 是约化质量。这对应的Hamiltonian是 ,里面等号右边第一项是动能项(为了方便记为 ),第二项是势能项(为了方便记为 )。于是它们在基态的期望值满足 。

接着我们考虑virial theorem。在经典力学中,对于正比于距离 次方的势能(即 ),我们有 。在氢原子的例子中,这个关系也有其量子对应。从上述的Hamiltonian中我们可以看出 (这是显然的),因此将 代入virial theorem可得 。等号两边同时加上 ,我们便得到 。又因为 ,所以就有: 。

利用我们一开始就提到的氢原子能级公式,就可以直接得到: 。

【如果想简化这个表达式的话,可以利用玻尔半径的定义式 ,代入上面的结果可以得到 。这跟 @奶牛小雪球 的回答中的结果是一样的。但要注意的是,这里我们计算的是非相对论性情况下的动能。】




  

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