为什么乐理和数学如此不同？ 第1页

这个问题真的是「思而不学则殆」的完美例子……初学音乐有自己的疑问很正常，没必要这么傲慢吧。

乐理一开始为啥不跟数学家商量一下，要么十进制要么二进制？整个世界都符合数学规律，难道声音不符合吗，应该也是可以用十进制做体系的

十进制不是数学家发明的。数学用几进制都能一模一样地描述，十进制是几千年前掰手指头的人搞出来的。十二个的数学原理是 2⁷ ≈ 1.5¹²，你掰手指头掰出来十个音的“音乐”根本* 没法听。

* 避免抬杠，我说的是随便掰出一首十平均律没法听，专业的微分音乐家还是可以写出好听的十平均律音乐的：

来个七进制也就算了

十二平均律你当 12 进制就算了，七进制又是什么道理？你想的这个 2−1 ≠ 4−3 的七进制才是不符合数学规律。

还从C开始一组，以B结束

既然是 A-G 那显然原本是 A 开头的，至于怎么变成 C 的，还是好好学乐理和音乐史吧。

并且半音和全音在五线谱上一样表示半格

五线谱上半格相差一个二度而不是一个全音，能问出这个问题以及前面七进制的问题，说明你根本没有“度”的概念，更别提调性、音阶和调式。谱子上半音表示一格的谱子不仅没有调的概念，而且会被拉成原来的近两倍高，根本无法快速阅读，如下：

不走寻常路的乐理发明者，跟数学老师果然不共戴天。

乐理最初几乎是纯靠数学发展的，几百年前的很多音乐理论家都是数学家、物理学家，你觉得他们数学怎么样？音乐相比于文学等艺术，恰恰是最能体现数学原理的。

没想到这回答会有几百赞……那我再补一些自己对数学和音乐联系的理解吧：

乐理与数学息息相关，但数学上看起来很直观很美的东西照搬到音乐上并不一定好听。比如一个圆周分成三份或者四份，最美观的分割方法是取三等分或四等分。但是一个八度圈如此分割，得到的几个音组成的却恰好是很不和谐的两个和弦：增三和弦 (第1、5、9个音为 1 3 #5) 和 减七和弦 (第 1 4 7 10 个音为 1 b3 b5 6=bb7)。

这是因为十二律下乐理和数学的联系其实非常矛盾和纠结。频率其实是对数增长的，而它取对数才是我们用音名说的音高。在频率上套用数学规律则是毫无问题的，比如从 262 Hz 的 C3开始、频率比为简单整比的 1:2:3:4:5:6 的六个音就是 C 大三和弦的组成音 (C3 C4 G4 C5 E5 G5)，即所谓的泛音列。而用取对数后的数值套用线性的数学规律就会出现题主这种想当然的误区。

这种纠结其实源于律制的建立。音程符合简单比例关系时最完美（和谐音程会严格具有很小的共同周期），但音程符合对数关系时最方便（随意转调）。若要兼顾两者，可以写出 2^n ≈ 1.5^x 这一个整数解方程，它的一个局部最优近似解是 x = 12（十二律），其他位置的局部最优解还有 5（宫商角徵羽的五律），53（土耳其音乐），665（现代一些微分音乐）。这就是题主问到的十二律所符合的数学原理。

只能说你数学水平太差了以至于看不到这种宏伟的美, 一叶障目, 不见泰山.

最简单的乐理里蕴含的数学原理也超乎你的想象, 给你描述一下我眼中看到的景色.

Stage1:为什么中国古代音乐是五音而西方是七音？

Stage2:为什么找不到 12 音阶的纯律？

Stage3:切我：平均律制与黎曼 ζ 函数

这三篇都是关于微分音级的, 我们先讲述一下前两篇

为什么不用10进制, 是平均律这是个非常复杂的问题...

第一篇说的是五音与七音没有本质区别, 然后推导了一下五度相生律的通项公式是:

然后进一步推导出了微分音级是 的最佳近似

于是我们寻求古老的丢番图逼近理论, 计算其连分数逼近得到了 A005664 - OEIS

也就是说平均律只能在 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665... 这个数列中选

这显然不够精细, 第二篇讨论了所谓的高阶音律

从泛音列出发, 第一泛音和基音是 的关系, 对人耳来说频率翻倍, 感觉相似, 那么就用这个距离来定八度音程(一均)

第二泛音与第一泛音是的关系, 这个距离定做纯五度, 听起来似乎最和谐, 于是就得到了一阶音律: 五度相生律

接下来第三泛音与第二泛音是 的关系, 但是这个不能作为基, 因为可以从前面的比例合成 ; 下一个第四泛音与第三泛音是 的关系, 定为大三度, 于是我们可以构建二阶的音律: 纯律

我们进一步推导了纯律的通项公式, 可以在 中选取可能的音符.

选取多少就成了一个多元整数格的逼近问题, 我们可以通过高维线性规划来求解

选取比纯律还要精巧的三阶音律, 我们得到了A054540 - OEIS

平均律可以取 2, 3, 5, 7, 12, 19, 31, 34, 53, 118...

还能不能做的更好? @切我 给出了答案

我们还是从泛音列出发, 一个基本原理是频率翻倍感觉相似

比例音乐的问题是转调困难, 不管如何进行切分都无法还原, 高阶音律可以弥补这个问题, 但是高级音律的计算也太过复杂了点, 而且也没有解决问题的本质.

到了现代我们可以使用平均律, 平均律的问题就是不准, 但是高阶平均律可以减小误差. 平均律用一个基本单位的整数次幂近似模拟整数之比, 如果这两个数越接近, 就说明模拟得越好.

对于阶平均律来说, 考虑整数之比与 的整数幂的接近程度, 相当于考虑与整数的接近程度.

我们需要找一个指标来刻画平均律的优劣

我们要找的是一个关于的函数 , 用来刻画与整数的总体接近程度.

是一个周期函数, 我们希望这个函数尽量简单.

周期函数里除开常函数没法用, 最简单的就是三角函数了, 再上去就是椭圆函数了.

我们取

这么选的另一个原因是我们希望这是个平滑函数, 否则可能发散, 而且余弦函数是个整函数

我们希望每个有不同的权重, 因为更小的整数要更重要一些

于是我们在在前乘以一个指数 , 越大, 这个指标就越偏向小整数:

我们定义函数 , 他对于任意 都是一个实解析函数

把所有乱七八糟的东西都展开成指数形式

我们得到了一个非常重要的结论:

对于平均律，它模拟整数之比的能力可以被黎曼 函数模的平方表示
的值越大，这种平均律就越好!

我们固定 k 画出 s 的图, 可以看到这个函数有某些类似山脊的部分

                k                   =                   n                   /                   Log         [         2         ];                            color                   =                   Function         [{         x         ,                   y         ,                   z         },                   Hue         @         Rescale         [         Arg         @         Sin         [         z                   +                   x                   I         ],                   {         -1         ,                   1         }                   *                   2                   /                   Pi         ]];                            Plot3D         [                             Abs         [         Zeta         [         s                   +                   2         Pi                   I                   k                   ]]         ^         2         ,                   {         s         ,                   1         ,                   4         },                   {         n         ,                   1         ,                   20         },                             MaxRecursion                   ->                   0         ,                   PlotPoints                   ->                   50         ,                             PlotRange                   ->                   All         ,                   ColorFunction                   ->                   color                            ]            

这些局部极值不随 变化而改变局部特性.

为了研究这种性质, 我们引入对数 Gamma 函数.

与 的分支切割不同, 是另一个函数, 只在实数域相等.

我们定义所谓的 Riemann-Siegel 函数

令 , 我们有

所以考察 的图像的极大值就能得到平均律可以选取的值了

于是我们得到了一个非常精细的平均律, 堪比无穷阶比例音律.

综上所述,平均律可以取 2,5,7,12,19,22,31,41,53,72,99.....