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「大珠小珠落玉盘」真的可以有不同的音调吗? 第1页

  

user avatar   zhong-ke-yuan-wu-li-suo 网友的相关建议: 
      

感谢 @無印良我 的邀请。下面给出回答:

声音的三个主要的主观属性包括响度、音调、音色,其中音调主要取决于声音的频率,物体振动的越快,频率越高,发出声音的音调越高;振动的越慢,频率越低,音调越低。“嘈嘈切切错杂弹,大珠小珠落玉盘”。这里所说的“嘈嘈”和“切切”主要描述了声音的频率。

下面就是推导(数学)了

珠子落到玉盘上,给玉盘一个瞬间的冲击力,玉盘振动发声。假设珠子从同一高度h落下,其到达圆盘时的动量为:

假设珠子与玉盘碰撞后速度为零,小球施加给玉盘的冲量为P,根据冲量定律,得到冲击力的大小为:

将上述问题简化为一维弦振动问题,如图,冲力F作用在x=x0处使玉盘发生振动,冲力作用使的盘子在x0处在开始振动时有一个瞬间的速度,大小为:

,ρ为玉盘一维线密度。

波动方程写为:

假设玉盘被固定在环上,边界条件为:

在冲力作用下的初始条件为:

利用分离变量法解得:

分析以上结果,振动的本征频率为:

只与波速a和玉盘尺寸L有关,而这些因素只与玉盘的材质有关,在讨论过程中认为是不变的,与小珠施加的冲力无关,即小珠落到玉盘上引起玉盘发出的声音并不会发生音调的改变。然后我们发现冲量P影响的其实是最前面的系数,体现的应该是振动的振幅,即在此过程中由于珠子的质量不同导致从同一高度落下冲量不同,能使发声声音的响度有所不同。

最后说一下个人理解,从数学上讲,我们可以把这个振动问题看成是一个三维波动方程的求解,本来施加外力会得到非齐次的波动方程,但由于施加的外力是瞬时力,我们可以将其引起的变化写到初始条件里,简化为三维齐次波动方程的求解,进而简化到一维。然后考虑边界条件,在讨论中我们采用最简单的第一类齐次边界条件,但其实不管我们取那个边界条件,都不会影响本征频率的形式,只会使求解过程中的积分常数有些不同,最终影响的是振动的相位。最后,本次讨论未考虑阻尼,但如果考虑阻尼振动,其欠阻尼振动下振动频率也只与玉盘的固有频率和阻尼系数有关,而两者都只与玉盘的材质有关,即同一玉盘在不同珠子的作用下发声不会出现音调的改变,只有响度的变化。

但如果我们换个角度来想想,我们会发现更有趣的事情!如果我们假设发声的物体不是玉盘而是珠子,根据以上分析我们得到振动的频率与该物体波速和尺寸有关,即如果我们认为发声的是小珠子,那么大小尺寸不同的小珠在振动时的本征频率确有不同,的确会发出音调不同的声音。看来白居易先生是故意为难我们这些学物理的后人哪,一句诗里竟然蕴含了如此深刻的物理!

回答者:物理所 勿用




  

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