双生子佯谬真的解决了吗？ 第1页

看到有评论指出，『听来听去哥哥和弟弟到底有哪点不对等，就是弟弟在惯性系下静止，哥哥在飞船系下静止，但是飞船系不是惯性系。搞了半天惯性系具有某种特殊地位，会不会给人一种钦定的感觉，就像以太系的思想又复活了？』

伽利略时空观和相对论时空观下都认为力学定理在所有惯性系中都一致。但是Maxwell方程组在伽利略变换下不协变，所以伽利略时空观下Maxwell方程组只在一个特定的参考系成立，这个参考系被称为以太系，光速被认为是光相对于以太系的速度；Maxwell方程组在洛伦兹变换下协变，所以相对论时空观下力学和电磁学实验都没办法去区分那个惯性系更特殊。

值得注意的是，不管哪种时空观下，惯性系都是特殊的一类参考系。即使时空弯曲，广相中的弱等效原理也要告诉我们可以局域地找到Free-falling Frame（ 即Local Inertial Frame）。一句话总结相对论时空观就是

While it is not possible to single out a particular reference frame of reference as uniquely "at rest", it is always possible to single out (at least, locally) a family of frames that are are "unaccelerated"/inertial.

我的理解是，历史上一系列实验（如Michelson–Morley）支持了相对论，所以相对论被普遍认为更正确；而不是说相对论不需要钦定一个以太系，所以理论上比伽利略时空观更有优越感。伽利略时空观需要钦定一个以太系，逻辑上没有任何纰漏，否定它的只是实验。而相对论中确实钦定了一类参考系叫做惯性系，也没有任何逻辑上的纰漏。

===========原文==============

最近有个本科生拿这个问题来问我，跟我纠缠了很久，主要论据就是运动是相对的啦飞船上的哥哥和弟弟是对等的啦。好奇来知乎逛一圈发现这个古老的佯谬竟然还有这么多误解，我来试图澄清一下。

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首先，既然把这个称为佯谬，说明是已经被解决了的悖论。而且这个悖论是可以在狭义相对论框架中解决的。用一点广相的知识可以帮助理解。

1）一句话回应大多数人的困惑“哥们俩是对等的，你的解释很好，但是把你的分析中‘哥哥blahblah弟弟怎样怎样’换成‘弟弟blahblah哥哥怎样怎样’为什么就不对？”

因为哥哥和弟弟是不对等的！从来没说过哥哥和弟弟是对等的：弟弟在的惯性系里躺着，所受合外力为零，沿着测地线运动；哥哥坐着飞船，合外力不始终为零，相对于惯性系做变速运动。

兄弟俩可以下做如下实验确定自己是不是在惯性系中——

观测一个不受外力作用的物体，如果该物体始终保持匀速直线运动，那么自己即沿着测地线运动；反之则知自己相对于惯性系做变速运动。

2）理解了这一点，悖论的解决就水到渠成——用弟弟的视角看，画出时空图，算个固有时就知道飞船上的哥哥会更年轻。哥哥走的世界线是类时曲线或者折线，其“长度”（即固有时）短于弟弟的直的类时世界线长度。

若要用哥哥的视角看——折线情况下（飞船不推进匀速到达目标星球后立刻剧烈地改变速度返回），哥哥在变速的一瞬间换了自己所处的惯性参考系，发现弟弟一瞬间变老了很多。曲线情况下（飞船慢慢加速慢慢减速），需要不断地换惯性参考系，每一瞬时的惯性系中哥哥都瞬时静止（瞬时随动惯性参考系/Local Freely Falling Frame），换系导致弟弟变老，时间膨胀效应让弟弟衰老变慢，前者超过了后者。

【注：Local Freely Falling Frame中的local是指时间意义上的local

3） 最后的诘问！ 『我不听我不听，我就是要一直以哥哥为参照系，而且不换系，管他是不是惯性系呢。这样子的话哥哥的世界线不就成了直线嘛，弟弟的世界线反倒变弯了，类时直线长于类时曲线，哥哥更老Oh Yeah！』

可以这样选参考系，但结论错误。

更严谨的表述是『以哥哥的世界线作为时间轴，对整体时空建立坐标系』。

后果就是，尽管时空还是那个平直时空（Ricci curvature tensor always vanished in absence of stess-energy tensor），但是时空度规不再是diag{+1,-1,-1,-1}的闵氏度规 了，这时候『沿着时间轴的直线长于类时曲线』就不一定成立了哟。我们还可以注意到，这个新的度规会导出不为零的联络（Christoffel connection），沿着时间轴的直线（即哥哥的世界线）不再是测地线了，而弟弟的世界线虽为曲线确是测地线。

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结论：如果弟弟始终静止在惯性系中，那么坐飞船的哥哥确实会更年轻。

【注1：惯性系应该理解为Local Free Falling Frame。原始的双生子效应的叙述有一个很大的纰漏。弟弟躺在地球表面并不算在惯性系中静止，因为位于地表的弟弟感受到了 的非惯性力，事实上相对惯性系是有加速度的，弟弟也没有沿着测地线运动。一个挽救方法是弟弟飘在太空中保持不受外力。

【注2：全程采用弟弟所在的惯性系就能算出固有时之差，所以说双生子佯谬是可以在狭义相对论范畴内解决的。如果不嫌麻烦不断换系找哥哥的Local Freely Falling Frame也能解决，还是算在狭义相对论内。如果有跟广阔的闲情逸致用哥哥系这个非惯性参照系和相应的非闵氏度规，照样算得出，但是算不算狭义相对论范畴我就不知道了——有人说只要是平直时空都算狭义相对论，也有人说只有闵氏度规下的问题才算，不过anyway了既然要处理非零的克氏联络广相的知识还是用得到的