有没有人能画出《三体》里太阳系被二维化的概念图？ 第1页

按照 @小夫子老男孩 答案中视频的思路，我自己画了几幅星球降维的效果图。

视频中把三维降至二维的思路，是先设计一个「二维降至一维」的方案，然后把三维中的两维按方案降至一维，另一维不变。

「二维降至一维」的方案，是「交错法」：把一个点在二维空间中的两个坐标写成小数形式，然后把各位小数交错，就得到它在一维空间中的坐标。比如，二维空间中的点 (0.123, 0.456)，就会映射到一维空间中的点 0.142536。交错法可以得到二维正方形 [0,1)^2 与一维线段 [0,1) 之间的一个映射，这个映射几乎是一个双射。

有几点说明：

1. 如果这个「几乎」让你耿耿于怀，可以参看我下面这个答案是怎么构造出一个严格的双射的。不过在这个答案中我不想纠结这一点，也不想纠结区间到底是开还是闭。

2. 上面的交错法只能处理空间中坐标在 0 到 1 之间的部分，不能处理整个空间。视频中又用 sigmoid 函数在区间 (0,1) 与所有实数间建立了一个双射，解决了这个问题。为简便起见，我的这个答案就只考虑坐标在 0 到 1 之间的部分。

3. 视频中交错法使用的是十进制。为了让降维的结果更混乱、更壮观，我采用二进制。

在展示降维效果之前，我先来直观地演示一下，交错法是怎么把二维正方形 (0,1)^2 映射成一维线段 (0,1) 的。

首先把二维正方形切成四块，编号 1~4：

然后按顺序把它们排成一维：

再把每一小块切成四块，同样编号 1~4：

把每一小块中的四块也按顺序排成一维：

这个过程可以无限进行下去，于是正方形就可以被映射成一条没有宽度的线段。不过屏幕的分辨率是有限的，迭代 5 次之后就可以把一幅 32*32 的图片变成一幅 1*1024 的图片，这已经接近大多数屏幕的分辨率了。我下面的图示只迭代 4 次。

如果不采用二进制而是采用 k 进制，则在每一步中，不是切成 4 小块，而是切成 k*k 小块。显然二进制能把图片打得更乱。

下面演示星球降维的效果。

首先是二维降至一维。考虑二维空间中，以 (0,5, 0.5) 为中心、0.5 为半径的一颗圆形星球，我把它画成一幅 16*16 的图片：

把它用「交错法」降至一维后得到的 1*256 图片是这样的（纵向拉长了些以方便观察）：

可见，「交错法」确实把原来的图片打乱了，星球的表面与内部混乱地交织在一起。

然后是三维降至二维。考虑三维空间中，以 (0.5, 0.5, 0.5) 为中心、0.5 为半径的一颗球形星球，用一幅 16*16*16 的「图片」表示。这个图片本身比较难画，我就不画了。按照视频中的思路，把其中的两维用「交错法」降至一维，会得到一张 16*256 的图片，这张图片如下：

在三维降至二维的过程中，有一个维度跟另外两个维度的地位不同，这让人不爽。于是我干脆画了四维降至二维的效果图：把四个维度分成两对，用「交错法」把每一对降至一维。考虑四维空间中，以 (0.5, 0.5, 0.5, 0.5) 为中心、0.5 为半径的一颗超球形星球，用一幅 16*16*16*16 的「图片」表示。它降至二维后，会得到一张 256*256 的图片，这张图片如下：

有没有很壮观！